✎☛ Déterminer une équation de droite par identification

Le plan est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text{O}; \overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)\).

Méthode en identifiant les coefficients a et b

Soit \(\text A (x_{\text A}; y_{\text A})\) un point et \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} \alpha\\ \beta\\ \end{pmatrix}\) un vecteur non nul.
On considère la droite \(d\) passant par le point \(\text A\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\).
La droite \(d\) admet une équation cartésienne de la forme \(ax+by+c=0\).
On commence par identifier les valeurs des coefficients \(a\) et \(b\) à l'aide des coordonnées du vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\).
Puis, on trouve la valeur du coefficient \(c\) en résolvant l'équation après avoir remplacé les variables \(x\) et \(y\) par les coordonnées du point \(\text A\).

Énoncé

Dans un repère orthonormé du plan, on considère la droite \(d\) passant par le point \(\text A (2;3)\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 4\\ -5\\ \end{pmatrix}\). Déterminer une équation cartésienne de la droite \(d\).

Solution

Une équation cartésienne de la droite \(d\) est \(ax+by+c=0\) avec \(a,b,c \in \mathbb{R}\) tels que \((a;b) \neq (0;0)\).
On sait que le vecteur de coordonnées \(\begin{pmatrix} -b \\ a \\ \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de \(d\).
Puisque \(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} \color{blue}{4}\\ \color{orange}{-5}\\ \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de la droite \(d\), on peut poser \(a=\color{orange}{-5}\) et \(b = -\color{blue}{4}\).
Une équation cartésienne de la droite \(d\) est donc : \(\color{orange}{-5}x-\color{blue}{4}y+c=0\).

On sait que \(\text A (\color{green}{2};\color{red}{3}) \in d\) , ce qui revient à dire que \(\color{orange}{-5} \times \color{green}{2} -\color{blue}{4} \times \color{red}{3} + c = 0\).
Ainsi, on a \(c=22\) après résolution.
Donc une équation cartésienne de la droite \(d\) est \(-5x-4y+22=0\).